Los nueve ángulos de tres triángulos son n1, n2, ..., n9 grados, enteros positivos que forman una progresión aritmética de diferencia positiva. Si uno de los ángulos mide 78 grados, halla la suma de todos los valores posibles de n1.

Step-by-step solution

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   Usa la suma total de los ángulos para localizar el término central. Tres triángulos aportan $3\times 180=540$ grados. En una progresión aritmética de nueve términos, la suma es nueve veces el término central:

   $\sum_{i=1}^{9}n_i=9n_5=540\quad\Longrightarrow\quad n_5=60.$

   Así que, sea cual sea $d$, la sucesión está centrada en $60$: $n_i=60+(i-5)d$.

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   Convierte la condición de los 78 grados en una condición de divisibilidad. Si $n_k=78$, entonces

   $60+(k-5)d=78\quad\Longrightarrow\quad (k-5)d=18.$

   Como $d>0$ hace falta $k>5$, de modo que $k-5\in\{1,2,3,4\}$ y $d=\dfrac{18}{k-5}$ debe ser un entero positivo. Solo $k-5=1,2,3$ dividen a $18$, lo que da

   $d=18,\ 9,\ 6.$

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   Descarta el caso que vuelve no positivo a un ángulo. El primer término es $n_1=60-4d$:

   $d=18\Rightarrow n_1=-12\ (\text{rechazado}),\qquad d=9\Rightarrow n_1=24,\qquad d=6\Rightarrow n_1=36.$

   Los términos mayores son $n_9=60+4d$, es decir $96$ y $84$: ambos por debajo de $180$, así que todos los ángulos son ángulos legítimos de un triángulo.

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   Confirma que los nueve ángulos pueden formar realmente tres triángulos. Escribiendo $n_i=60+(i-5)d$, los desplazamientos son $-4,-3,\ldots,4$. Repartiéndolos como $\{-4,0,4\}$, $\{-3,1,2\}$ y $\{-2,-1,3\}$, cada grupo de desplazamientos suma cero, así que cada grupo de tres ángulos suma $3\times 60=180$. Una partición así existe para todo $d$, de modo que esta condición no añade ninguna restricción nueva.

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   Comprueba las dos sucesiones supervivientes.

   $d=6:\ 36,42,48,54,60,66,72,\mathbf{78},84$
   $d=9:\ 24,33,42,51,60,69,\mathbf{78},87,96$

   Ambas contienen el $78$, son estrictamente crecientes y constan de enteros positivos.

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   Suma los posibles primeros términos.

   $24+36=60.$

   Una búsqueda exhaustiva sobre todas las diferencias admisibles confirma que estos son los dos únicos casos.