Para números reales positivos a, b y c, halla el valor mínimo de P = (a/(a+b))⁴ + (b/(b+c))⁴ + (c/(c+a))⁴.

Step-by-step solution

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   Cambia de variables para dejar a la vista la restricción. Toma $u=\dfrac{b}{a}$, $v=\dfrac{c}{b}$, $w=\dfrac{a}{c}$, de forma que $uvw=1$ automáticamente. Entonces $x=\frac{a}{a+b}=\frac{1}{1+u},\quad y=\frac{1}{1+v},\quad z=\frac{1}{1+w},\qquad P=x^4+y^4+z^4.$

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   Adivina el caso de igualdad. Tomando $a=b=c$ se obtiene $x=y=z=\tfrac12$ y $P=3\left(\frac12\right)^4=\frac{3}{16}.$ Todo el trabajo restante consiste en demostrar que ninguna configuración mejora esto.

3. 3

   Baja un escalón hasta la suma de cuadrados. Por la desigualdad de las medias potenciales aplicada a $x^2,y^2,z^2$, $x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}.$ Así que basta con demostrar que $x^2+y^2+z^2\ge\tfrac34$. (El atajo tentador $x+y+z\ge\tfrac32$ es sencillamente falso — con $a=1,b=2,c=4$ da $1.4667$ —, de modo que las cantidades correctas para acotar son los cuadrados, no las primeras potencias.)

4. 4

   Usa un lema de dos variables. Para todos los $u,v>0$, $\frac{1}{(1+u)^2}+\frac{1}{(1+v)^2}\ge\frac{1}{1+uv},$ porque al quitar denominadores queda la identidad $(uv-1)^2+uv(u-v)^2\ge 0$.

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   Aplícalo con $uv=1/w$. El lema da $x^2+y^2\ge\dfrac{1}{1+1/w}=\dfrac{w}{1+w}=1-z$, de modo que $x^2+y^2+z^2\ge 1-z+z^2=\left(z-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34.$

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   Combina y confirma. Por lo tanto $P\ge\frac{(3/4)^2}{3}=\frac{3}{16},$ con igualdad exactamente cuando $z=\tfrac12$ y $u=v$, es decir $a=b=c$. Una búsqueda numérica global con $200$ reinicios aleatorios también toca fondo en $0.1875$ con $a:b:c=1:1:1$.