Resolver la inecuación x por logaritmo en base 1/3 de (1/2 - x) mayor o igual que el valor absoluto de x.

Step-by-step solution

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   Fijar el dominio antes de tocar la inecuación. Un logaritmo necesita un argumento estrictamente positivo:

   $\frac12-x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac12$

   Todo lo que sigue se busca dentro de $\left(-\infty,\tfrac12\right)$; cualquier candidato fuera de ese intervalo queda descartado automáticamente.

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   Separar según el signo de $x$, porque tanto $|x|$ como el sentido de la desigualdad dependen de él. Se escribe $L=\log_{1/3}\!\left(\tfrac12-x\right)$. La inecuación es $xL\ge|x|$. Dividir entre $x$ es el paso natural, pero el signo de $x$ decide a la vez en qué se convierte $|x|$ y si la desigualdad se invierte, así que los tres casos $x>0$, $x=0$, $x<0$ deben tratarse por separado.

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   Caso $x>0$. Aquí $|x|=x$, y dividir entre el número positivo $x$ conserva el sentido:

   $L\ge 1$

   La base $\tfrac13$ es menor que $1$, así que $\log_{1/3}$ es decreciente: $\log_{1/3}t\ge 1$ se invierte y da $0<t\le\left(\tfrac13\right)^{1}=\tfrac13$. Por tanto

   $0<\frac12-x\le\frac13\quad\Longleftrightarrow\quad \frac16\le x<\frac12$

   Junto con $x>0$ esto da $\left[\tfrac16,\tfrac12\right)$.

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   Caso $x<0$. Ahora $|x|=-x$, y dividir $xL\ge-x$ entre el número negativo $x$ invierte la desigualdad:

   $L\le -1$

   Usando de nuevo que $\log_{1/3}$ es decreciente, $\log_{1/3}t\le-1$ pasa a ser $t\ge\left(\tfrac13\right)^{-1}=3$:

   $\frac12-x\ge3\quad\Longleftrightarrow\quad x\le-\frac52$

   Todo $x$ de ese tipo es negativo y está dentro del dominio, así que sirve toda la semirrecta $\left(-\infty,-\tfrac52\right]$.

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   Caso $x=0$ — no hay que omitirlo. Al sustituir directamente se obtiene $0\cdot L=0$ y $|0|=0$, así que la desigualdad queda $0\ge0$, que es cierta. El punto aislado $x=0$ es una solución genuina aunque no esté en ninguno de los dos intervalos; es justo el punto que se perdería al dividir entre $x$ sin cuidado.

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   Reunir todo y comprobar. El conjunto solución es

   $x\in\left(-\infty,-\frac52\right]\cup\{0\}\cup\left[\frac16,\frac12\right)$

   Se revisan los dos extremos: en $x=-\tfrac52$, $\tfrac12-x=3$ y $\log_{1/3}3=-1$, así que el lado izquierdo vale $(-\tfrac52)(-1)=\tfrac52=|x|$ — hay igualdad. En $x=\tfrac16$, $\tfrac12-x=\tfrac13$ y $\log_{1/3}\tfrac13=1$, así que el lado izquierdo vale $\tfrac16=|x|$ — igualdad otra vez. Un valor de prueba en una zona descartada, por ejemplo $x=-1$, da $(-1)\log_{1/3}\tfrac32\approx0.369$, que es menor que $|x|=1$, así que queda correctamente excluido.