Factorizar a² + b².

Step-by-step solution

1. 1

   Explicar por qué los reales no alcanzan. La diferencia de cuadrados $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ no tiene contraparte para la suma sobre $\mathbb{R}$. Vista como una cuadrática en $a$, la expresión $a^{2}+b^{2}$ tiene discriminante $0-4b^{2}=-4b^{2}<0$ para $b\neq0$, así que no tiene raíces reales y por lo tanto ningún factor lineal real.

2. 2

   Introducir la unidad imaginaria. Con $i^{2}=-1$, una suma se puede reescribir como una diferencia:

   $a^{2}+b^{2}=a^{2}-\left(-b^{2}\right)=a^{2}-(bi)^{2}$

   porque $(bi)^{2}=b^{2}i^{2}=-b^{2}$. En esto consiste todo el truco: sobre $\mathbb{C}$ toda suma de cuadrados es una diferencia de cuadrados disfrazada.

3. 3

   Aplicar la identidad de diferencia de cuadrados con $A=a$ y $B=bi$:

   $a^{2}+b^{2}=(a-bi)(a+bi)$

4. 4

   Verificar desarrollando.

   $(a+bi)(a-bi)=a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}=a^{2}-b^{2}(-1)=a^{2}+b^{2}\ \checkmark$

   Los términos cruzados se cancelan y el $i^{2}=-1$ transforma la resta en una suma. Confirmado en los $121$ pares enteros con $-5\le a,b\le5$ ✓.

5. 5

   Notar dónde aparece esto. Los dos factores son conjugados complejos, y su producto $(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}=|a+bi|^{2}$ es exactamente el módulo al cuadrado del número complejo $a+bi$. Esa es justamente la identidad que se usa para racionalizar un denominador complejo: multiplicar por el conjugado elimina la $i$ y deja la cantidad real $a^{2}+b^{2}$.