Resolver la inecuación (x + 1)(x − 4) < 0.

Step-by-step solution

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   Lee los valores críticos directamente de los factores. La expresión ya está factorizada, así que se anula en $x=-1$ y $x=4$. Estos dos puntos cortan la recta numérica en tres intervalos: $(-\infty,-1)$, $(-1,4)$ y $(4,\infty)$. Un producto solo puede cambiar de signo donde alguno de sus factores se anula, de modo que el signo es constante dentro de cada intervalo.

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   Anticipa la respuesta a partir de la forma. Al desarrollar se obtiene $x^2-3x-4$, una parábola que abre hacia arriba con raíces $-1$ y $4$. Una curva así queda por debajo del eje solo entre sus raíces, así que ya esperamos $-1<x<4$; las pruebas por intervalos que siguen lo confirman.

3. 3

   Prueba un punto cómodo en cada intervalo.

   $x=-2:\ (-1)(-6)=6>0,\qquad x=0:\ (1)(-4)=-4<0,\qquad x=5:\ (6)(1)=6>0$

   Basta un punto por intervalo precisamente porque el signo no puede cambiar dentro de él.

4. 4

   Selecciona el intervalo donde el producto es negativo. Solo el intervalo central cumple:

   $-1<x<4$

   Estructuralmente, ahí es donde los dos factores tienen signos opuestos: $x+1>0$ mientras que $x-4<0$.

5. 5

   Decide qué pasa en los extremos. En $x=-1$ y $x=4$ el producto vale $0$, y $0<0$ es falso, así que ambos extremos quedan excluidos. El conjunto solución es el intervalo abierto

   $x\in(-1,4)$

   (Si la desigualdad hubiera sido $\le 0$, la respuesta sería el intervalo cerrado $[-1,4]$.)