Hallar y simplificar el cociente incremental (f(x+h) − f(x))/h para f(x) = √(5x + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Escribir el cociente. Con $f(x+h) = \sqrt{5(x+h)+1} = \sqrt{5x+5h+1}$,

   $\frac{\sqrt{5x+5h+1} - \sqrt{5x+1}}{h}$

   Todavía no se cancela nada: la $h$ está enterrada dentro de un radical, así que no se puede extraer como factor del numerador de forma directa.

2. 2

   Multiplicar por el conjugado del numerador. Es la maniobra estándar para una diferencia de raíces cuadradas:

   $\frac{\sqrt{5x+5h+1} - \sqrt{5x+1}}{h} \cdot \frac{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}$

   Multiplicar por $1$ escrito de esta forma no cambia nada, pero traslada los radicales al denominador.

3. 3

   Aplicar (A − B)(A + B) = A² − B² en el numerador. Las raíces cuadradas desaparecen:

   $\left(5x+5h+1\right) - \left(5x+1\right) = 5h$

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   Cancelar la h.

   $\frac{5h}{h\left(\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}\right)} = \frac{5}{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}$

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   Comprobar numéricamente y tomar el límite. En $x = 1.3$ y $h = 0.07$: el cociente directo vale $0.9024623$ y la fórmula da $\tfrac{5}{\sqrt{7.85}+\sqrt{7.5}} = 0.9024623$. Cuando $h \to 0$ los dos radicales se convierten en $\sqrt{5x+1}$ y queda $\tfrac{5}{2\sqrt{5x+1}}$, que es la derivada de $\sqrt{5x+1}$.