Sea f(x) = −x² + 7x + 2. Al evaluar y simplificar (f(x + h) − f(x))/h se obtiene la forma Ax + Bh + C. Halla A, B y C.

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituye $x+h$ en todos los lugares donde aparece $x$.

   $f(x+h)=-(x+h)^{2}+7(x+h)+2.$

   Desarrollando $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$ y distribuyendo con cuidado el signo menos de delante:

   $f(x+h)=-x^{2}-2xh-h^{2}+7x+7h+2.$

   Ese signo menos delante del cuadrado es el punto donde más se resbala.

2. 2

   Resta $f(x)$ y observa cómo desaparecen los términos sin $h$.

   $f(x+h)-f(x)=\bigl(-x^{2}-2xh-h^{2}+7x+7h+2\bigr)-\bigl(-x^{2}+7x+2\bigr).$

   Los términos $-x^{2}$, $7x$ y $2$ se cancelan por parejas, y queda

   $-2xh-h^{2}+7h.$

   Todos los términos que sobreviven contienen una $h$, y eso tiene que ocurrir: de lo contrario, dividir entre $h$ se dispararía cuando $h\to0$.

3. 3

   Saca factor común $h$ y cancela.

   $\frac{h(-2x-h+7)}{h}=-2x-h+7,\qquad h\ne 0.$

4. 4

   Ajústalo a la forma pedida. Escribiendo el resultado como $(-2)x+(-1)h+7$ y comparándolo con $Ax+Bh+C$:

   $A=-2,\qquad B=-1,\qquad C=7.$

5. 5

   Comprueba con la derivada y con un caso numérico. Al hacer $h\to0$ queda $-2x+7$, que es exactamente $f'(x)$ para $f(x)=-x^{2}+7x+2$: el cociente incremental tiene que colapsar en la derivada. Numéricamente, en $x=3$ con $h=0.1$: $f(3.1)=-9.61+21.7+2=14.09$ y $f(3)=-9+21+2=14$, así que el cociente es $0.09/0.1=0.9$, mientras que $-2(3)-0.1+7=0.9$ ✓.