Halla el cociente de (6x² - 8x - 6) dividido entre (3x + 2).

Step-by-step solution

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   Reconoce el divisor no mónico. El divisor $3x+2$ empieza por $3x$, no por $x$, así que la división sintética no se aplica directamente y cada término del cociente sale de dividir entre $3x$ y no entre $x$. La división larga se ocupa de esto sin ninguna maquinaria adicional.

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   Primer paso. $\dfrac{6x^2}{3x}=2x$. Multiplica hacia atrás: $2x(3x+2)=6x^2+4x$. Resta: $(6x^2-8x)-(6x^2+4x)=-12x$, y baja el $-6$ para obtener $-12x-6$.

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   Segundo paso. $\dfrac{-12x}{3x}=-4$. Multiplica hacia atrás: $-4(3x+2)=-12x-8$. Resta: $(-12x-6)-(-12x-8)=2$.

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   Detente cuando baja el grado. Lo que sobra, $2$, es una constante, de grado menor que el divisor lineal, así que el proceso termina con cociente $2x-4$ y resto $2$.

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   Expresa la respuesta. $\dfrac{6x^2-8x-6}{3x+2}=2x-4+\dfrac{2}{3x+2}$.

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   Comprueba multiplicando hacia atrás y por sustitución. $(3x+2)(2x-4)+2=6x^2-12x+4x-8+2=6x^2-8x-6$. Como segunda comprobación, el divisor se anula en $x=-\tfrac23$, y allí el dividendo vale $6\cdot\tfrac49+\tfrac{16}{3}-6=\tfrac83+\tfrac{16}{3}-6=8-6=2$, que es justamente el resto.