Resuelve 5^(x+2) = 3^(5−x) para x.

Step-by-step solution

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   Entiende por qué los logaritmos son inevitables. Las bases $5$ y $3$ no comparten ninguna potencia común, así que no se pueden igualar sin más los exponentes. Tomar logaritmo en ambos miembros es el movimiento estándar, y sirve cualquier base, porque se cancela en el cociente final.

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   Toma logaritmos naturales y baja los exponentes. Usando $\ln(A^k)=k\ln A$:

   $(x+2)\ln5=(5-x)\ln3$

   La ecuación es ahora lineal en $x$, con $\ln5$ y $\ln3$ actuando como constantes corrientes.

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   Desarrolla y reúne los términos en x.

   $x\ln5+2\ln5=5\ln3-x\ln3\qquad\Longrightarrow\qquad x\ln5+x\ln3=5\ln3-2\ln5$

   Los dos términos en $x$ pasan a la izquierda, lo que mantiene positivo el coeficiente.

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   Factoriza y usa la regla del producto para logaritmos.

   $x(\ln5+\ln3)=5\ln3-2\ln5$

   Como $\ln5+\ln3=\ln(5\cdot3)=\ln15$, esto se simplifica a

   $x=\frac{5\ln3-2\ln5}{\ln15}$

5. 5

   Evalúa y corrige un decimal erróneo muy difundido. Con $\ln3=1.098612$, $\ln5=1.609438$ y $\ln15=2.708050$:

   $x=\frac{5(1.098612)-2(1.609438)}{2.708050}=\frac{5.493060-3.218876}{2.708050}=\frac{2.274184}{2.708050}=0.839787$

   Así que $x\approx0.8398$. A veces se da el valor $1.037$ para esta ecuación, pero es incorrecto: mira la comprobación de abajo.

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   Verifica por sustitución. Con $x=0.8397871$: $5^{x+2}=5^{2.8397871}=96.5886$ y $3^{5-x}=3^{4.1602129}=96.5886$, iguales hasta siete cifras significativas ✓. Probar en cambio el valor incorrecto $x=1.037$ da $5^{3.037}=132.67$ frente a $3^{3.963}=77.77$, que no se parecen ni de lejos ✗.