Una matriz compleja tiene polinomio característico x³(x − 1)⁴. ¿Cuántas clases de semejanza de tales matrices hay?

Step-by-step solution

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   Aprovecha que sobre $\mathbb{C}$ la forma de Jordan es un invariante completo. Dos matrices complejas son semejantes si y solo si tienen la misma forma canónica de Jordan, salvo el orden de los bloques. Así que contar clases de semejanza es contar las formas de Jordan posibles: ningún otro dato puede distinguirlas.

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   Lee los valores propios y sus multiplicidades algebraicas en el polinomio característico. De $x^3(x-1)^4$ se sigue que la matriz es $7\times 7$ con

   $\lambda=0 \text{ de multiplicidad } 3,\qquad \lambda=1 \text{ de multiplicidad } 4$

   El polinomio característico fija el tamaño total de los bloques de cada valor propio, pero no cómo se reparte ese total entre bloques, y ahí está justamente la libertad que queda.

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   Traduce «tamaños de bloque» a particiones enteras. Los bloques de Jordan de un mismo valor propio tienen tamaños que son enteros positivos cuya suma es su multiplicidad algebraica, y su orden no importa. Así que las opciones en el valor propio $\lambda$ se corresponden una a una con las particiones de su multiplicidad, contadas por la función de particiones $p$.

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   Enumera las particiones de $3$ y de $4$. Para $\lambda=0$:

   $3,\quad 2+1,\quad 1+1+1\qquad\Longrightarrow\quad p(3)=3$

   Para $\lambda=1$:

   $4,\quad 3+1,\quad 2+2,\quad 2+1+1,\quad 1+1+1+1\qquad\Longrightarrow\quad p(4)=5$

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   Multiplica, porque los dos valores propios se eligen de forma independiente. La estructura de Jordan en $0$ no impone ninguna restricción a la estructura en $1$, así que el total es el producto:

   $p(3)\cdot p(4)=3\cdot 5=15$

   Un representante de una de las clases es $J_2(0)\oplus J_1(0)\oplus J_3(1)\oplus J_1(1)$; al variar las dos particiones de forma independiente se recorren las $15$.

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   Contrasta los casos extremos. Las particiones formadas solo por $1$ en ambos lados dan la matriz diagonalizable $\operatorname{diag}(0,0,0,1,1,1,1)$: exactamente una clase. Las particiones de un solo bloque dan $J_3(0)\oplus J_4(1)$, la clase cuyo polinomio mínimo $x^3(x-1)^4$ coincide con el característico. Las dos se cuentan una vez entre las $15$.