Factoriza x² − 7x + 12.

Step-by-step solution

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   Plantea la búsqueda. Para un trinomio cuadrático mónico $x^2+bx+c$, factorizar significa encontrar dos números cuyo producto sea $c=12$ y cuya suma sea $b=-7$. Entonces $x^2+bx+c=(x+m)(x+n)$ con esos dos números como $m$ y $n$.

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   Usa los signos para acotar la búsqueda antes de listar nada. El producto $+12$ es positivo, así que los dos números comparten signo; la suma $-7$ es negativa, así que ese signo compartido es negativo. Solo hay que revisar las parejas negativas, lo que reduce el trabajo a la mitad.

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   Lista las parejas de factores negativos de 12 y sus sumas.

   $(-1,-12)\to-13,\qquad(-2,-6)\to-8,\qquad(-3,-4)\to-7\ \checkmark$

   La pareja $-3$ y $-4$ funciona: $(-3)(-4)=12$ y $-3+(-4)=-7$.

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   Escribe la factorización.

   $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$

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   Comprueba desarrollando. $(x-3)(x-4)=x^2-4x-3x+12=x^2-7x+12$ ✓. El coeficiente central es la suma y el término independiente es el producto, exactamente como se diseñó.

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   Lee las raíces y verifícalas. La expresión se anula en $x=3$ y en $x=4$. Comparar la original con la forma factorizada en cada entero desde $-30$ hasta $29$ da coincidencia exacta ✓, y el discriminante $49-48=1$ es un cuadrado perfecto, la garantía de que tenían que existir factores enteros.