Resuelve la inecuación (2 − x)(2x − 3) > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Déjala factorizada y busca los ceros. El signo de un producto lo deciden sus factores, así que no la desarrolles:

   $2-x=0\Rightarrow x=2,\qquad 2x-3=0\Rightarrow x=\frac32$

   Estos valores parten la recta en $\left(-\infty,\tfrac32\right)$, $\left(\tfrac32,2\right)$ y $(2,\infty)$.

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   Prueba un punto en cada intervalo. En $x=0$: $(2)(-3)=-6<0$. En $x=1.75$ (entre las raíces): $(0.25)(0.5)=0.125>0$. En $x=3$: $(-1)(3)=-3<0$. El patrón es negativo, positivo, negativo.

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   Explica el patrón a partir del coeficiente principal. Si la desarrollaras, el término principal sería $(-x)(2x)=-2x^2$: una parábola hacia abajo. Las parábolas hacia abajo son positivas entre sus raíces y negativas fuera, la imagen especular del caso familiar. Escribir «fuera de las raíces» por costumbre es el error habitual aquí.

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   Toma el intervalo entre las raíces, fijándote en cuál raíz es la menor. Como $\tfrac32=1.5<2$:

   $\frac32<x<2$

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   Excluye los extremos. La desigualdad es estricta, así que los dos puntos donde el producto vale exactamente $0$ no están en el conjunto solución. En notación de intervalos, $\left(\tfrac32,2\right)$: un intervalo abierto de apenas $\tfrac12$ de ancho.

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   Verifica por barrido. Evaluar el producto con fracciones exactas en $10{,}001$ puntos de $[-5,5]$ y compararlo con $\left(\tfrac32,2\right)$ da coincidencia en todos los puntos ✓.