Resolver la inecuación |x − 2| + |x − 5| > 7.

Step-by-step solution

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   Halla los vértices y parte la recta. Cada valor absoluto cambia de fórmula donde se anula su interior: en $x=2$ y en $x=5$. Considera entonces $x<2$, $2\le x<5$ y $x\ge5$; en cada tramo los dos valores absolutos pasan a ser lineales.

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   Caso 1: x < 2 (los dos interiores negativos). Entonces $|x-2|=2-x$ y $|x-5|=5-x$, así que la suma es $7-2x$:

   $7-2x>7\qquad\Longrightarrow\qquad -2x>0\qquad\Longrightarrow\qquad x<0$

   Dividir entre $-2$ invierte la desigualdad. Al intersecar $x<0$ con $x<2$ queda $x<0$.

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   Caso 2: 2 <= x < 5 (signos mixtos). Aquí $|x-2|=x-2$ y $|x-5|=5-x$, y los términos en $x$ se cancelan:

   $(x-2)+(5-x)=3>7$

   Falso para todo $x$ del intervalo, así que la franja central no aporta nada. Entre los vértices la suma es constante e igual a $3$: la distancia de $2$ a $5$.

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   Caso 3: x >= 5 (los dos interiores no negativos). La suma es $(x-2)+(x-5)=2x-7$:

   $2x-7>7\qquad\Longrightarrow\qquad 2x>14\qquad\Longrightarrow\qquad x>7$

   Al intersecar con $x\ge5$ queda $x>7$.

5. 5

   Une los casos.

   $x<0\quad\text{o}\quad x>7,\qquad(-\infty,0)\cup(7,\infty)$

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   Confírmalo con la lectura por distancias. $|x-2|+|x-5|$ es la distancia total de $x$ a $2$ y a $5$. Su mínimo es la separación $3$, alcanzada en todo $[2,5]$; fuera, crece $2$ por cada unidad. Llegar a $7$ exige un extra de $7-3=4$, es decir, $2$ unidades más allá de un vértice, lo que sitúa las fronteras en $2-2=0$ y $5+2=7$ ✓. Comprobación: $|{-2}|+|{-5}|=7$ en $x=0$ y $|5|+|2|=7$ en $x=7$, ambos excluidos por ser la desigualdad estricta. Un barrido de $4001$ puntos racionales exactos en $[-20,20]$ coincide en todos ellos ✓.