Hallar x si (x + 4)(x² − 4x + 16) − x(x + 5)(x − 5) = 264.

Step-by-step solution

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   Reconoce el primer producto como una suma de cubos. El patrón $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$ encaja con $a=x$ y $b=4$, ya que $a^2-ab+b^2=x^2-4x+16$:

   $(x+4)\left(x^2-4x+16\right)=x^3+64$

   Desarrollarlo a la fuerza también funciona, pero invita a errores de signo; reconocer la identidad deja a la vista la cancelación que viene.

2. 2

   Reconoce el segundo producto como una diferencia de cuadrados.

   $(x+5)(x-5)=x^2-25\;\Longrightarrow\;x(x+5)(x-5)=x^3-25x$

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   Sustituye ambos y observa cómo se cancelan los cubos.

   $\left(x^3+64\right)-\left(x^3-25x\right)=25x+64$

   Los términos $x^3$ desaparecen exactamente, así que lo que parecía una ecuación cúbica es en realidad lineal: en eso consiste todo el diseño del problema.

4. 4

   Resuelve la ecuación lineal.

   $25x+64=264\;\Longrightarrow\;25x=200\;\Longrightarrow\;x=8$

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   Comprueba sustituyendo en la ecuación original. Con $x=8$: el primer producto es $12\left(64-32+16\right)=12\cdot 48=576$, y el segundo es $8\cdot 13\cdot 3=312$. Entonces

   $576-312=264\;\checkmark$

   Vale la pena hacer la comprobación completa aquí, porque la cancelación de los términos cúbicos es la clase de paso que esconde un desliz aritmético.