Resuelve la ecuación 40x + 30x + 30x + 2x² = 450.

Step-by-step solution

1. 1

   Reduce los términos lineales. Los tres comparten la misma potencia de $x$:

   $40x + 30x + 30x = 100x \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 + 100x = 450$

2. 2

   Pasa todo a un miembro y divide entre el factor común.

   $2x^2 + 100x - 450 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 50x - 225 = 0$

   Dividir entre $2$ deja la cuadrática mónica, lo que simplifica tanto la búsqueda de factores como la fórmula.

3. 3

   Comprueba si factoriza sobre los enteros. Factorizar exigiría dos enteros de producto $-225$ y suma $50$. Las parejas de divisores de $225$ son $(1,225), (3,75), (5,45), (9,25), (15,15)$, que dan como sumas posibles $\pm224, \pm72, \pm40, \pm16, 0$: ninguna es $50$. Así que no existe factorización entera y hace falta la fórmula general.

4. 4

   Aplica la fórmula general. Con $a = 1$, $b = 50$, $c = -225$:

   $b^2 - 4ac = 2500 + 900 = 3400, \qquad \sqrt{3400} = 10\sqrt{34} \approx 58.309519$

   $x = \frac{-50 \pm 10\sqrt{34}}{2} = -25 \pm 5\sqrt{34}$

5. 5

   Evalúa las dos raíces.

   $x_1 = -25 + 5\sqrt{34} \approx 4.154759, \qquad x_2 = -25 - 5\sqrt{34} \approx -54.154759$

6. 6

   Verifica y descarta un error muy frecuente. Para $x_1$: $2(4.154759)^2 + 100(4.154759) = 34.52404 + 415.47590 = 449.99994$. Para $x_2$: $5865.47584 - 5415.47590 = 449.99994$ (el pequeño déficit es solo el redondeo de $\sqrt{34}$). Vieta también cuadra: la suma $= -50$ y el producto $= -225$. La respuesta que suele verse, $x = 5$ o $x = -55$, es incorrecta: ambas dan $2x^2 + 100x = 550$, no $450$, porque $55 \times (-5) = -275$ y no $-225$.