Explica por qué x = 3 queda excluido del dominio de f(x) = (x² − 4x + 3)/(x² − 9), aunque x − 3 se cancele.

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza las dos partes antes de decidir el dominio.

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3)$

   de modo que

   $f(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$

   El factor $x-3$ aparece en los dos lados — y eso es justo lo que hace confuso este caso.

2. 2

   El dominio lo decide el denominador original, antes de cancelar nada. Iguálalo a cero:

   $x^2-9=0\quad\Longrightarrow\quad x=3 \text{ o } x=-3$

   Sustituir $x=3$ en la fórmula sin tocar da

   $f(3)=\frac{9-12+3}{9-9}=\frac{0}{0}$

   que no es un número. La división entre cero no tiene sentido: no existe ningún $y$ con $0\cdot y=$ un valor no nulo prefijado, y cuando el numerador también vale $0$ cualquier $y$ serviría, así que no se le puede asignar un único valor.

3. 3

   Cancelar cambia la fórmula, pero no la función. Para todo $x\neq 3$,

   $f(x)=\frac{x-1}{x+3}$

   pero esta expresión simplificada es una función distinta a menos que se le mantenga adherida la restricción $x\neq 3$. Simplificar una expresión nunca añade puntos a un dominio: solo reescribe la regla sobre el dominio que ya se tenía.

4. 4

   Clasifica los dos puntos excluidos: no son del mismo tipo. En $x=-3$ solo se anula el denominador, así que $|f(x)|\to\infty$: eso es una asíntota vertical. En $x=3$ se anulan a la vez el numerador y el denominador, así que la gráfica tiene una discontinuidad evitable, es decir, un agujero. Su altura es el límite de la forma ya cancelada:

   $\lim_{x\to 3}\frac{x-1}{x+3}=\frac{2}{6}=\frac13$

   Numéricamente, $f(3.00001)\approx 0.333334$, lo que confirma que la gráfica se acerca a $\tfrac13$ sin llegar nunca a alcanzarlo.

5. 5

   Enuncia el dominio.

   $\operatorname{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}: x\neq 3,\ x\neq -3\}=(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty)$

   El punto $(3,\tfrac13)$ es un círculo abierto en la gráfica: la curva se acerca todo lo que se quiera, pero $x=3$ no pertenece al dominio.