Con A = [[9,1,1],[1,2,1],[1,18,1]] y C = [[10,2,2],[2,3,2],[2,19,2]], calcular (A + C)².

Step-by-step solution

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   Suma antes de elevar al cuadrado y no desarrolles el binomio. Es tentador escribir $(A+C)^2=A^2+2AC+C^2$, pero esa identidad exige $AC=CA$, cosa que las matrices en general no cumplen. Sumar primero evita el problema por completo y además supone mucha menos aritmética.

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   Suma las matrices entrada a entrada. Ambas son $3\times 3$, así que la suma está definida:

   $S=A+C=\begin{pmatrix}19&3&3\\3&5&3\\3&37&3\end{pmatrix}$

3. 3

   Plantea el cuadrado como S·S. Cada entrada de $S^2$ es el producto escalar de una fila de $S$ por una columna de $S$. Las columnas de $S$ son $(19,3,3)$, $(3,5,37)$ y $(3,3,3)$.

4. 4

   Calcula la primera fila.

   $(19,3,3)\cdot(19,3,3)=361+9+9=379$

   $(19,3,3)\cdot(3,5,37)=57+15+111=183$

   $(19,3,3)\cdot(3,3,3)=57+9+9=75$

5. 5

   Calcula la segunda y la tercera fila.

   $(3,5,3)\cdot(19,3,3)=57+15+9=81,\quad (3,5,3)\cdot(3,5,37)=9+25+111=145,\quad (3,5,3)\cdot(3,3,3)=33$

   $(3,37,3)\cdot(19,3,3)=57+111+9=177,\quad (3,37,3)\cdot(3,5,37)=9+185+111=305,\quad (3,37,3)\cdot(3,3,3)=129$

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   Arma el resultado.

   $\boxed{(A+C)^{2}=\begin{pmatrix}379&183&75\\81&145&33\\177&305&129\end{pmatrix}}$

7. 7

   Comprueba rápidamente la tercera columna. Todas las entradas de la tercera columna de $S$ valen $3$, así que la tercera columna de $S^2$ tiene que ser $3\times$(sumas de las filas de $S$): las sumas de filas son $25$, $11$ y $43$, lo que da $75$, $33$ y $129$, en concordancia con los valores calculados y confirmando la aritmética.