Resuelve la inecuación (x − 1) / ((x − 3)(x − 2)) ≤ 0 y da la respuesta en notación de intervalos.

Step-by-step solution

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   Buscar los puntos críticos, no un común denominador. La expresión ya es una sola fracción factorizada, así que el signo solo puede cambiar donde se anula algún factor: el cero del numerador $x = 1$ y los ceros del denominador $x = 2$ y $x = 3$. Nunca hay que multiplicar ambos lados por $(x-3)(x-2)$: su signo es desconocido, así que la dirección de la desigualdad sería poco confiable.

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   Partir la recta en cuatro intervalos. Los tres puntos críticos cortan $\mathbb{R}$ en $(-\infty,1)$, $(1,2)$, $(2,3)$ y $(3,\infty)$. Dentro de cada uno, los tres factores conservan un signo fijo, así que el cociente completo también: basta un valor de prueba por intervalo.

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   Probar un punto en cada intervalo.

   intervalo	$x$ de prueba	valor	signo
   $(-\infty,1)$	$0$	$\tfrac{-1}{(-3)(-2)} = -\tfrac16$	negativo
   $(1,2)$	$1.5$	$\tfrac{0.5}{(-1.5)(-0.5)} = +\tfrac23$	positivo
   $(2,3)$	$2.5$	$\tfrac{1.5}{(-0.5)(0.5)} = -6$	negativo
   $(3,\infty)$	$3.5$	$\tfrac{2.5}{(0.5)(1.5)} = +\tfrac{10}{3}$	positivo

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   Decidir cada extremo por separado. La desigualdad es $\le$, así que se permiten los ceros del numerador: en $x = 1$ el valor es $0$, que cumple $\le 0$, de modo que $x=1$ se incluye. Los ceros del denominador no se permiten nunca: en $x = 2$ y $x = 3$ la expresión no está definida, así que ambos se excluyen, sin importar hacia dónde apunte la desigualdad.

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   Armar la solución. Se reúnen los intervalos negativos y se le añade el extremo cerrado:

   $(-\infty,\,1] \;\cup\; (2,\,3)$

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   Contrastar con los distractores habituales. Un resolutor simbólico devuelve exactamente $(-\infty,1] \cup (2,3)$ ✓. La opción $[1,2) \cup [3,\infty)$ toma los intervalos positivos y cierra erróneamente un polo; $[1,2] \cup (3,\infty)$ cierra $x=2$, donde la expresión ni siquiera existe.