Simplifica (x+1)³ - 2(x+1)²(x-1) - (x+1)(x-1)² + 2(x+1)³(x² - 9)/(x + 3).

Step-by-step solution

1. 1

   Elimina primero la fracción. $x^2-9$ es una diferencia de cuadrados:

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   de modo que el último término pasa a ser $\dfrac{2(x+1)^3(x-3)(x+3)}{x+3}=2(x+1)^3(x-3)$, válido para $x\neq -3$. Una vez que desaparece el denominador, toda la expresión es un polinomio.

2. 2

   Saca el factor común $(x+1)$. Cada uno de los cuatro términos lleva al menos un factor $x+1$:

   $(x+1)\Bigl[(x+1)^2-2(x+1)(x-1)-(x-1)^2+2(x+1)^2(x-3)\Bigr]$

   Sacarlo ahora mantiene el desarrollo un grado más bajo.

3. 3

   Desarrolla los tres primeros términos del corchete. Usando $(x+1)^2=x^2+2x+1$, $(x+1)(x-1)=x^2-1$, $(x-1)^2=x^2-2x+1$:

   $\left(x^2+2x+1\right)-2\left(x^2-1\right)-\left(x^2-2x+1\right)=-2x^2+4x+2$

   (Los términos en $x^2$ dan $1-2-1=-2$, los términos en $x$ dan $2+2=4$ y las constantes dan $1+2-1=2$.)

4. 4

   Desarrolla el cuarto término.

   $2(x+1)^2(x-3)=2\left(x^2+2x+1\right)(x-3)=2\left(x^3-x^2-5x-3\right)=2x^3-2x^2-10x-6$

5. 5

   Suma las dos partes dentro del corchete.

   $\left(-2x^2+4x+2\right)+\left(2x^3-2x^2-10x-6\right)=2x^3-4x^2-6x-4=2\left(x^3-2x^2-3x-2\right)$

6. 6

   Escribe la forma factorizada final y compruébala.

   $2(x+1)\left(x^3-2x^2-3x-2\right)$

   La cúbica no tiene raíces racionales ($\pm1,\pm2$ fallan todas), así que no se factoriza más sobre $\mathbb{Q}$. Comprobación numérica en $x=2.3$: la expresión original y esta forma valen ambas $-48.2658$. $\checkmark$