Resuelve la inecuación a(x − 4)² + b < 10 para x, tratando a y b como parámetros.

Step-by-step solution

1. 1

   Aísla el término al cuadrado. Resta $b$ a ambos lados:

   $a(x-4)^2<10-b$

   Todavía no se puede dividir entre $a$, porque $a$ podría ser cero o negativo, y eso es justamente lo que obliga a discutir por casos.

2. 2

   Empieza por el caso $a=0$, que elimina $x$ por completo. La inecuación se reduce a la afirmación sobre parámetros $b<10$, en la que $x$ no aparece:

   $b<10\Rightarrow x\in\mathbb{R};\qquad b\ge 10\Rightarrow x\in\varnothing$

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   Caso $a>0$: divide sin invertir el signo.

   $(x-4)^2<\frac{10-b}{a}$

   Si $b\ge 10$, el lado derecho es $\le 0$, y un cuadrado nunca puede ser estrictamente menor que un número no positivo, así que el conjunto es vacío. Si $b<10$, el lado derecho es positivo y $|x-4|<\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$, lo que da el intervalo acotado

   $4-\sqrt{\frac{10-b}{a}}<x<4+\sqrt{\frac{10-b}{a}}$

4. 4

   Caso $a<0$: divide e invierte el signo.

   $(x-4)^2>\frac{10-b}{a}$

   Cuida el signo del cociente: con $a<0$, si $b<10$ entonces $\tfrac{10-b}{a}$ es negativo, así que la desigualdad se cumple para todo $x$ y la respuesta es $\mathbb{R}$. Si $b=10$, el lado derecho es $0$ y $(x-4)^2>0$ solo excluye $x=4$.

5. 5

   Caso $a<0$ con $b>10$: dos semirrectas. Ahora $\tfrac{10-b}{a}>0$ (negativo entre negativo), así que escribiendo $c=\sqrt{\tfrac{10-b}{a}}$ queda $|x-4|>c$:

   $x<4-c\quad\text{o}\quad x>4+c$

6. 6

   Verifica numéricamente dos de las siete ramas. Toma $a=2$, $b=2$: el intervalo debería ser $4\pm\sqrt{4}=(2,6)$, y en efecto, en $x=3$, $2(1)+2=4<10$ $\checkmark$, mientras que en $x=7$, $2(9)+2=20\not<10$ $\checkmark$. Toma $a=-1$, $b=19$: $c=\sqrt{9}=3$, lo que predice $x<1$ o $x>7$; en $x=0$, $-16+19=3<10$ $\checkmark$ y en $x=4$, $19\not<10$ $\checkmark$.