Factoriza x² - 100x + 48².

Step-by-step solution

1. 1

   Evalúa primero la constante elevada al cuadrado. Dejarla como $48^2$ esconde la estructura:

   $48^2=2304\qquad\Longrightarrow\qquad x^2-100x+2304$

   (Calcúlala como $(50-2)^2=2500-200+4=2304$ si prefieres el cálculo mental.)

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   No supongas que es un cuadrado perfecto. La presencia de $48^2$ invita a adivinar $(x-48)^2$, pero eso se desarrollaría como $x^2-96x+2304$ — el término central es $-96x$, no $-100x$. El discriminante lo zanja: $100^2-4(2304)=10000-9216=784=28^2$, un cuadrado perfecto pero distinto de cero, así que hay dos raíces enteras distintas.

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   Plantea la búsqueda. Se necesitan dos números con producto $2304$ y suma $-100$. Ambos deben ser negativos, ya que el producto es positivo y la suma negativa.

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   Usa el discriminante como atajo. Con $\sqrt{784}=28$, las raíces son

   $x=\frac{100\pm28}{2}=64\ \text{y}\ 36$

   así que los dos números son $-64$ y $-36$. Comprobación: $(-64)(-36)=2304$ ✓ y $-64+(-36)=-100$ ✓.

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   Escribe la factorización.

   $x^2-100x+48^2=(x-64)(x-36)$

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   Verifica desarrollando. $(x-64)(x-36)=x^2-36x-64x+2304=x^2-100x+2304$ ✓. Comparar ambas formas en todos los enteros desde $-30$ hasta $119$ da coincidencia exacta ✓. Observa la estructura elegante: $64+36=100$ y $64\times36=2304=48^2$, es decir, $48$ es la media geométrica de $64$ y $36$ mientras que $50$ es su media aritmética.