Racionaliza el denominador de 7/(√5 − 2) y simplifica la respuesta.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica el conjugado. El denominador es la diferencia entre un radical y un entero; su conjugado solo cambia el signo del medio:

   $\text{el conjugado de }\sqrt5-2\ \text{es}\ \sqrt5+2.$

2. 2

   Multiplica arriba y abajo por el conjugado.

   $\frac{7}{\sqrt5-2}\cdot\frac{\sqrt5+2}{\sqrt5+2}=\frac{7\left(\sqrt5+2\right)}{\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)}.$

3. 3

   Evalúa el denominador con la diferencia de cuadrados.

   $\left(\sqrt5\right)^{2}-2^{2}=5-4=1.$

   Esta es la sorpresa agradable del problema: el denominador se reduce a $1$, así que la fracción entera desaparece.

4. 4

   Escribe el resultado sin denominador.

   $\frac{7\left(\sqrt5+2\right)}{1}=7\sqrt5+14.$

   Dejar la respuesta como $\dfrac{7\sqrt5+14}{1}$ no es incorrecto, pero no está simplificada; quita el $1$.

5. 5

   Comprueba numéricamente. $\sqrt5=2.2360680$, así que la expresión original vale $7/0.2360680=29.6524758$, y $7(2.2360680)+14=15.6524758+14=29.6524758$. Idéntico en todos los dígitos mostrados.