Factoriza por completo (x² − 6x + 1)(x² + x + 1) + 12x².

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrollar el producto término a término. Al distribuir cada parte del primer paréntesis:

   $x^{2}\left(x^{2}+x+1\right)=x^{4}+x^{3}+x^{2},\quad -6x\left(x^{2}+x+1\right)=-6x^{3}-6x^{2}-6x,\quad 1\left(x^{2}+x+1\right)=x^{2}+x+1.$

   Al sumar y agrupar términos semejantes queda $x^{4}-5x^{3}-4x^{2}-5x+1$.

2. 2

   Sumar el $12x^{2}$. Solo cambia el coeficiente cuadrático:

   $x^{4}-5x^{3}-4x^{2}-5x+1+12x^{2}=x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1.$

   El $12x^{2}$ adicional está claramente puesto a propósito: es lo que convierte una cuártica corriente en una factorizable.

3. 3

   Notar los coeficientes palindrómicos. Los coeficientes son $1,-5,8,-5,1$, los mismos leídos hacia adelante que hacia atrás. Un polinomio recíproco como este siempre se factoriza (cuando se puede) con la forma

   $\left(x^{2}+ax+1\right)\left(x^{2}+bx+1\right)=x^{4}+(a+b)x^{3}+(ab+2)x^{2}+(a+b)x+1,$

   cuya propia lista de coeficientes es automáticamente palindrómica. Darse cuenta de esto ahorra una búsqueda a ciegas entre todas las factorizaciones posibles.

4. 4

   Igualar coeficientes y resolver. Al comparar con $1,-5,8,-5,1$:

   $a+b=-5,\qquad ab+2=8\ \Rightarrow\ ab=6.$

   Los números con suma $-5$ y producto $6$ son $a=-2$ y $b=-3$, de modo que

   $x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}-3x+1\right).$

5. 5

   Factorizar la cuadrática restante y terminar. El primer factor es un cuadrado perfecto, $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$, mientras que $x^{2}-3x+1$ tiene discriminante $9-4=5$, así que no admite factorización racional (sus raíces son $\frac{3\pm\sqrt5}{2}$, el par de la razón áurea). La factorización completa sobre los racionales es

   $\left(x^{2}-6x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)+12x^{2}=(x-1)^{2}\left(x^{2}-3x+1\right).$

   Comprobación numérica en $x=2.1$: el original da $-1.0769$ y la forma factorizada da $-1.0769$ ✓, y otros dos valores aleatorios coinciden hasta nueve cifras.