Simplifica el radical anidado sqrt(11 − sqrt(120)) como una diferencia de dos raíces cuadradas.

Step-by-step solution

1. 1

   Pon el radical interior en la forma $2\sqrt{k}$. Las fórmulas de desanidado esperan un factor $2$ delante de la raíz interior, así que extrae el cuadrado perfecto de $120$:

   $\sqrt{120}=\sqrt{4\cdot 30}=2\sqrt{30}\;\Longrightarrow\;11-\sqrt{120}=11-2\sqrt{30}$

2. 2

   Plantea la plantilla del cuadrado perfecto. Si $11-2\sqrt{30}=\left(\sqrt m-\sqrt n\right)^2$, entonces desarrollar el lado derecho da

   $\left(\sqrt m-\sqrt n\right)^2=m+n-2\sqrt{mn}$

   así que igualar por separado la parte racional y la irracional exige

   $m+n=11,\qquad mn=30$

3. 3

   Resuelve el sistema pequeño. Son la suma y el producto de dos números, así que $m$ y $n$ son las raíces de $t^2-11t+30=0$:

   $t=\frac{11\pm\sqrt{121-120}}{2}=\frac{11\pm 1}{2}\;\Longrightarrow\;t=6\ \text{o}\ 5$

   Que el discriminante salga cuadrado perfecto ($1$) es precisamente la condición para que el radical se pueda desanidar; la mayoría de los radicales anidados no lo permite.

4. 4

   Toma la raíz cuadrada con el signo correcto. Como una raíz cuadrada es no negativa, elige el orden que hace positiva la diferencia, es decir $m=6$ y $n=5$:

   $\sqrt{11-\sqrt{120}}=\sqrt{\left(\sqrt6-\sqrt5\right)^2}=\left|\sqrt6-\sqrt5\right|=\sqrt6-\sqrt5$

5. 5

   Comprueba numéricamente y observa el recíproco racionalizado. Numéricamente $\sqrt{120}=10.9545$, así que $11-\sqrt{120}=0.0455488$ y su raíz cuadrada es $0.213422$; por su parte $\sqrt6-\sqrt5=2.449490-2.236068=0.213422$ $\checkmark$: los dos coinciden exactamente, sin ninguna brecha que haya que justificar. Un dato acompañante útil: el recíproco se racionaliza con limpieza, ya que

   $\frac{1}{\sqrt6-\sqrt5}=\frac{\sqrt6+\sqrt5}{6-5}=\sqrt6+\sqrt5$

   así que el radical y su recíproco suman $2\sqrt6$.