Factoriza por completo x³ + 3x² + 7x + 5 y halla todas sus raíces.

Step-by-step solution

1. 1

   Listar las raíces racionales candidatas. El término constante es $5$ y el coeficiente principal es $1$, así que, por el teorema de la raíz racional, los candidatos son

   $x=\pm1,\ \pm5$

2. 2

   Probarlas, empezando por las pequeñas.

   $f(-1)=-1+3-7+5=0\ \checkmark$

   Entonces $x=-1$ es raíz y $(x+1)$ es un factor. (Para ser exhaustivos: $f(1)=16$, $f(5)=240$, $f(-5)=-80$, así que $-1$ es la única raíz racional.) Probar primero los candidatos negativos siempre conviene cuando todos los coeficientes son positivos, ya que un $x$ positivo nunca puede anular la suma.

3. 3

   Dividir entre (x + 1) con división sintética. Usando la raíz $-1$ sobre los coeficientes $1,\ 3,\ 7,\ 5$:

   $1\ \to\ 3-1=2\ \to\ 7-2=5\ \to\ 5-5=0$

   El resto nulo confirma la raíz, y el cociente es $x^2+2x+5$:

   $x^3+3x^2+7x+5=(x+1)\left(x^2+2x+5\right)$

4. 4

   Ver si la cuadrática se factoriza más. Su discriminante es

   $2^2-4(1)(5)=4-20=-16<0$

   Es negativo, así que $x^2+2x+5$ es irreducible sobre los reales y la factorización está completa tanto sobre $\mathbb{Q}$ como sobre $\mathbb{R}$.

5. 5

   Hallar las tres raíces. Por la fórmula general, $x=\dfrac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=\dfrac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$. Entonces

   $x=-1,\qquad x=-1+2i,\qquad x=-1-2i$

   Curiosamente, las tres comparten la parte real $-1$. Completar el cuadrado lo explica: $x^2+2x+5=(x+1)^2+4$, así que el par complejo queda justo por encima y por debajo de la raíz real.

6. 6

   Verificar. La factorización coincide con la expresión original en todos los enteros desde $-30$ hasta $29$ ✓; sustituir $x=-1$ da exactamente $0$ ✓; y las raíces suman $-3=-b/a$ ✓ con producto $-\left((-1)^2+2^2\right)=-5=-d/a$ ✓.