Factorizar (y')² − 4x²y' + 4x⁴ − x², tratando y' como la variable.

Step-by-step solution

1. 1

   Tratar el símbolo de la derivada como la variable. Escrita en potencias decrecientes de $y^{\prime}$, la expresión es una cuadrática ordinaria:

   $\left(y^{\prime}\right)^2-\left(4x^2\right)y^{\prime}+\left(4x^4-x^2\right)$

   Reconocer qué símbolo cumple el papel de la incógnita es la primera decisión de fondo; las potencias de $x$ son apenas coeficientes.

2. 2

   Detectar el cuadrado perfecto escondido en los tres primeros términos. Las piezas $\left(y^{\prime}\right)^2$, $-4x^2y^{\prime}$ y $4x^4$ encajan en el patrón $a^2-2ab+b^2$ con $a=y^{\prime}$ y $b=2x^2$:

   $\left(y^{\prime}\right)^2-4x^2y^{\prime}+4x^4=\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2$

   El término constante $4x^4-x^2$ se separó deliberadamente como $4x^4$ más un sobrante $-x^2$ para hacer posible esta agrupación.

3. 3

   Reescribir toda la expresión como una diferencia de dos cuadrados.

   $\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-x^2=\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-(x)^2$

4. 4

   Aplicar $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$. Con $A=y^{\prime}-2x^2$ y $B=x$:

   $\left(y^{\prime}-2x^2-x\right)\left(y^{\prime}-2x^2+x\right)$

5. 5

   Verificar desarrollando de vuelta. El producto de los dos factores es $\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-x^2$, que se desarrolla como $\left(y^{\prime}\right)^2-4x^2y^{\prime}+4x^4-x^2\;\checkmark$. Una comprobación numérica puntual con $y^{\prime}=5$ y $x=1$: la expresión original vale $25-20+4-1=8$, y los factores dan $(5-2-1)(5-2+1)=2\cdot 4=8\;\checkmark$.