Resuelve la ecuación (x + 1)² + (x − 1)² = (x + 1)² + (1 − x)².

Step-by-step solution

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   Busca las piezas que coinciden antes de desarrollar. El término $(x+1)^2$ aparece en los dos lados, así que se puede restar de inmediato. Lo que queda es la pregunta mucho más simple de si $(x-1)^2=(1-x)^2$.

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   Usa que los opuestos elevados al cuadrado dan el mismo valor. $1-x=-(x-1)$, y elevar al cuadrado elimina el signo: $(1-x)^2=\left(-(x-1)\right)^2=(-1)^2(x-1)^2=(x-1)^2$. Así que los dos términos restantes son iguales para todo $x$.

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   Confírmalo desarrollando los dos. $(x-1)^2=x^2-2x+1$ y $(1-x)^2=1-2x+x^2$; término a término coinciden, que es la versión algebraica de la misma observación.

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   Concluye que la ecuación es una identidad. Después de las cancelaciones la ecuación queda $0=0$, una afirmación sin ninguna variable que resulta ser verdadera. Esa es la firma de una identidad: se cumple para todo valor de la incógnita.

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   Enuncia el conjunto solución. Como no se excluye ningún valor de $x$ — no hay denominadores ni raíces cuadradas que restrinjan el dominio — el conjunto solución son todos los números reales, $x\in\mathbb{R}$.

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   Comprueba con dos valores de muestra. En $x=3$ los dos lados valen $16+4=20$; en $x=-7$ los dos lados valen $36+64=100$. Que los valores coincidan en puntos de prueba arbitrarios es consistente con una identidad y no con una ecuación de raíces aisladas.