Demuestra la identidad x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y).

Step-by-step solution

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   Elige una dirección para la demostración. Demostrar una identidad significa transformar un lado en el otro; no se pueden pasar términos al otro lado del igual como si se estuviera resolviendo una ecuación. El lado derecho es el complicado, así que conviene desarrollarlo y apuntar a llegar a $x^3+y^3$. Esa dirección solo requiere desarrollar, sin ninguna idea feliz de factorización.

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   Desarrolla el cubo del binomio. Usando el desarrollo del binomio,

   $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

   Los dos coeficientes centrales valen ambos 3, y eso es justamente lo que permitirá que un término corrector con factor 3 los elimine.

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   Desarrolla el término corrector.

   $3xy(x+y)=3xy\cdot x+3xy\cdot y=3x^2y+3xy^2$

   Esto es, término por término, la pareja de términos mixtos que produjo el cubo.

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   Resta y observa cómo desaparecen los términos mixtos.

   $(x+y)^3-3xy(x+y)=\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)-\left(3x^2y+3xy^2\right)=x^3+y^3$

   Los dos términos centrales se cancelan exactamente, lo que completa la demostración: el lado derecho es igual a $x^3+y^3$, así que la identidad se cumple para todo $x,y$.

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   Por qué vale la pena recordar la identidad. Expresa $x^3+y^3$ usando solo las cantidades simétricas elementales $s=x+y$ y $p=xy$, es decir, $x^3+y^3=s^3-3ps$. Ese es el camino habitual hacia $x^3+y^3$ cuando un problema da la suma y el producto de dos raíces, pero no las raíces mismas.

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   Comprobación numérica. Con $x=2,\,y=3$: el lado izquierdo es $8+27=35$; el derecho es $5^3-3\cdot 6\cdot 5=125-90=35$. Iguales, como predice el álgebra.