Factoriza por completo 2x² - x - 6xy + 3y.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa los cuatro términos en dos parejas útiles. La agrupación funciona solo si cada pareja tiene un factor común y los paréntesis que sobran coinciden. Emparejando los dos primeros y los dos últimos:

   $\left(2x^2-x\right)+\left(-6xy+3y\right)$

2. 2

   Factoriza cada pareja. De la primera pareja saca $x$; de la segunda saca $-3y$ (el signo menos es deliberado, para que el paréntesis salga con la misma orientación):

   $2x^2-x=x(2x-1),\qquad -6xy+3y=-3y(2x-1)$

   Si hubiéramos sacado $+3y$ habríamos obtenido $3y(-2x+1)$ — correcto, pero esconde la coincidencia.

3. 3

   Confirma que los paréntesis coinciden. Las dos parejas produjeron $(2x-1)$:

   $x(2x-1)-3y(2x-1)$

   Esa coincidencia es la señal de que la agrupación se eligió bien.

4. 4

   Extrae el binomio común.

   $x(2x-1)-3y(2x-1)=(2x-1)(x-3y)$

5. 5

   Desarrolla de vuelta y prueba numéricamente. $(2x-1)(x-3y)=2x^2-6xy-x+3y$, que es la expresión original tras reordenar ✓. En $x=2$, $y=1$: la original vale $8-2-12+3=-3$, y $(4-1)(2-3)=3(-1)=-3$ ✓. Ninguno de los dos factores se descompone más, así que la factorización está completa.