Resolver la inecuación (7x − 1)/(3x − 2) < 4, justificando cada paso.

Step-by-step solution

1. 1

   No multiplicar ambos lados por 3x − 2. La cantidad $3x-2$ es positiva para $x>\tfrac23$ y negativa para $x<\tfrac23$. Multiplicar una desigualdad por una expresión de signo desconocido es inválido: conservaría el sentido en una parte de la recta y lo invertiría en la otra. Lo seguro es pasar todo a un lado y comparar con cero.

2. 2

   Restar 4 en ambos lados. Sumar o restar una constante siempre es legítimo:

   $\frac{7x-1}{3x-2}-4<0$

3. 3

   Combinar en una sola fracción. Escribir $4$ como $\dfrac{4(3x-2)}{3x-2}$:

   $\frac{7x-1-4(3x-2)}{3x-2}=\frac{7x-1-12x+8}{3x-2}=\frac{7-5x}{3x-2}<0$

4. 4

   Ubicar los puntos críticos. El numerador se anula en $7-5x=0$, es decir $x=\tfrac75$; el denominador se anula en $x=\tfrac23$. Estos valores parten la recta en $\left(-\infty,\tfrac23\right)$, $\left(\tfrac23,\tfrac75\right)$ y $\left(\tfrac75,\infty\right)$.

5. 5

   Probar un punto en cada intervalo.

   $x=0$: $\dfrac{7}{-2}<0$ ✓

   $x=1$: $\dfrac{2}{1}=2>0$ ✗

   $x=2$: $\dfrac{-3}{4}<0$ ✓

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   Armar la solución decidiendo cada extremo. La desigualdad es estricta, así que $x=\tfrac75$ (donde la fracción vale $0$) queda excluido, y $x=\tfrac23$ queda excluido porque allí la expresión no está definida:

   $\boxed{x<\dfrac23\quad\text{o}\quad x>\dfrac75}$

7. 7

   Comprobar contra la desigualdad original. En $x=0$: $\tfrac{-1}{-2}=0.5<4$ ✓. En $x=1$: $\tfrac{6}{1}=6\not<4$ ✗. En $x=2$: $\tfrac{13}{4}=3.25<4$ ✓. Nótese que la multiplicación en cruz ingenua daría $7x-1<12x-8$, es decir $x>\tfrac75$: correcto en una rama, pero perdiendo por completo el intervalo $x<\tfrac23$, justo como se advirtió en el paso 1.