Dos números x e y son tales que la suma del 4% de x y el 5% de y es dos tercios de la suma del 5% de x y el 8% de y. Halla la razón x : y.

Step-by-step solution

1. 1

   Traduce las palabras a símbolos. «$p\%$ de $x$» significa $\tfrac{p}{100}x$, así que la frase se convierte en

   $\frac{4}{100}x+\frac{5}{100}y=\frac{2}{3}\left(\frac{5}{100}x+\frac{8}{100}y\right)$

   Una sola ecuación con dos incógnitas no puede determinar $x$ e $y$ por separado, pero sí puede fijar su razón, que es justamente lo que se pide.

2. 2

   Quita las centésimas. Cada término lleva un factor $\tfrac{1}{100}$, de modo que multiplicar ambos miembros por $100$ lo elimina por completo:

   $4x+5y=\frac{2}{3}(5x+8y)$

3. 3

   Quita la fracción. Multiplica ambos miembros por $3$:

   $3(4x+5y)=2(5x+8y)\quad\Longrightarrow\quad 12x+15y=10x+16y$

4. 4

   Agrupa las variables en miembros opuestos.

   $12x-10x=16y-15y\quad\Longrightarrow\quad 2x=y$

5. 5

   Pásalo a razón. De $2x=y$,

   $\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad x:y=1:2$

   $\boxed{1:2}$

6. 6

   Comprueba con números concretos. Toma $x=1$, $y=2$: el miembro izquierdo es $0.04(1)+0.05(2)=0.14$ y el derecho es $\tfrac23\big(0.05(1)+0.08(2)\big)=\tfrac23(0.21)=0.14$. Cualquier par en la razón $1:2$, como $x=50$, $y=100$, funciona igual de bien: la ecuación es homogénea, así que solo importa la razón.