Resuelve la inecuación 55(x² - 25) > 35(24² - 25). Da las cotas exactas y sus valores decimales.

Step-by-step solution

1. 1

   Evalúa primero el miembro constante. El miembro derecho no contiene ninguna incógnita, así que redúcelo a un solo número antes de tocar $x$:

   $24^{2}=576,\qquad 576-25=551,\qquad 35\times551=19285.$

   La inecuación queda $55\left(x^{2}-25\right)>19285$. Hacer esto primero reduce la aritmética posterior a una sola división en vez de varias.

2. 2

   Divide entre el coeficiente positivo. Como $55>0$, dividir ambos miembros conserva el sentido:

   $x^{2}-25>\frac{19285}{55}=\frac{3857}{11}.$

   La fracción se simplifica entre $5$ ($19285=5\times3857$, $55=5\times11$) y no se simplifica más, ya que $3857=7\times19\times29$ no comparte ningún factor con $11$. Mantenerla exacta evita redondear la cota final.

3. 3

   Aísla $x^{2}$. Sumando $25=\tfrac{275}{11}$ en ambos miembros:

   $x^{2}>\frac{3857}{11}+\frac{275}{11}=\frac{4132}{11}\approx375.636.$

4. 4

   Resuelve la inecuación con el cuadrado usando las dos ramas. Para una constante positiva $c$, la afirmación $x^{2}>c$ se cumple fuera del intervalo $\left[-\sqrt c,\sqrt c\right]$:

   $x<-\sqrt{\frac{4132}{11}}\quad\text{o}\quad x>\sqrt{\frac{4132}{11}}.$

   Escribir solo $x>\sqrt c$ pierde toda la rama negativa — el error más habitual en este tipo de ejercicios.

5. 5

   Simplifica el radical y comprueba. Como $4132=4\times1033$, racionalizar el denominador da

   $\sqrt{\frac{4132}{11}}=\frac{2\sqrt{1033}}{\sqrt{11}}=\frac{2\sqrt{11363}}{11}\approx19.3813.$

   Probando: en $x=19.5$, $55(380.25-25)=19538.75>19285$ ✓; en $x=19.3$, $55(372.49-25)=19111.95$, que no lo cumple ✓. Por simetría, $x=-19.5$ lo cumple y $x=-19.3$ no ✓.