Factoriza por completo x³ + x² - x - 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Agrupa los cuatro términos por parejas. Una cúbica de cuatro términos sin factor común es el caso clásico de agrupación:

   $\left(x^3+x^2\right)+(-x-1)$

2. 2

   Factoriza cada grupo para que aparezca un binomio común. Saca $x^2$ de la primera pareja y $-1$ de la segunda:

   $x^2(x+1)-1(x+1)$

   Sacar $-1$ en lugar de $+1$ es la maniobra clave: $-x-1=-1(x+1)$.

3. 3

   Extrae el binomio común.

   $x^3+x^2-x-1=(x+1)\left(x^2-1\right)$

4. 4

   No te detengas: factoriza la diferencia de cuadrados. $x^2-1=(x-1)(x+1)$, lo que produce un factor repetido:

   $x^3+x^2-x-1=(x+1)(x-1)(x+1)=(x+1)^2(x-1)$

5. 5

   Verifica desarrollando y con las raíces. $(x+1)^2(x-1)=(x^2+2x+1)(x-1)=x^3+x^2-x-1$ $\checkmark$. Las raíces son $x=-1$ (doble) y $x=1$; al sustituir $x=-1$ en la expresión original se obtiene $-1+1+1-1=0$ $\checkmark$.