Sea g(x) igual a 2x − 4 cuando −2 es menor que x y x es a lo sumo 5, e igual a x² − 2x + 3 cuando x es mayor que 5. Evalúa g(−1), g(7), g(0) y g(−2).

Step-by-step solution

1. 1

   Adopta el orden correcto de trabajo para una función por partes. Para cada entrada, primero decide qué rama se aplica poniendo a prueba las condiciones, y solo después sustituye. Sustituir en la rama equivocada es todo el modo de fallo de este ejercicio.

2. 2

   (a) g(-1). ¿Se cumple $-2<-1\le 5$? Sí, así que usa la primera rama:

   $g(-1)=2(-1)-4=-2-4=-6.$

3. 3

   (b) g(7). ¿Se cumple $7>5$? Sí, así que usa la segunda rama:

   $g(7)=7^{2}-2(7)+3=49-14+3=38.$

4. 4

   (c) g(0). ¿Se cumple $-2<0\le 5$? Sí, otra vez la primera rama:

   $g(0)=2(0)-4=-4.$

5. 5

   (d) g(-2) — revisa con cuidado los símbolos de desigualdad. La primera rama exige $-2<x$, una desigualdad estricta, así que $x=-2$ no califica. La segunda exige $x>5$, que $-2$ tampoco cumple. Ninguna rama cubre a $-2$, de modo que

   $g(-2)\ \text{no está definida.}$

   Si la condición hubiera dicho $-2\le x\le 5$, la respuesta habría sido $2(-2)-4=-8$. Ese único carácter es toda la pregunta.

6. 6

   Enuncia el dominio que se deduce. Las dos condiciones juntas cubren $(-2,5]\cup(5,\infty)=(-2,\infty)$, así que $g$ está definida para todo $x>-2$ y en ningún otro punto. Fíjate en que los dos tramos no se empalman: la primera rama llega a $2(5)-4=6$ en $x=5$, y la segunda se aproxima a $25-10+3=18$ justo después, así que la gráfica salta en $x=5$.