Factoriza a⁶ + b⁶.

Step-by-step solution

1. 1

   Elige la separación que funciona para una suma. El exponente $6$ puede verse como $2\times3$ o $3\times2$. Leerlo como cuadrados, $\left(a^{3}\right)^{2}+\left(b^{3}\right)^{2}$, da una suma de cuadrados y no se factoriza. Leerlo como cubos sí funciona:

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}\right)^{3}+\left(b^{2}\right)^{3}$

   La lección es que una suma se factoriza a través de un exponente impar: aquí el exponente impar oculto es el $3$.

2. 2

   Aplica la identidad de la suma de cubos $u^{3}+v^{3}=(u+v)\left(u^{2}-uv+v^{2}\right)$ con $u=a^{2}$ y $v=b^{2}$:

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(\left(a^{2}\right)^{2}-a^{2}b^{2}+\left(b^{2}\right)^{2}\right)$

3. 3

   Simplifica las potencias. Como $\left(a^{2}\right)^{2}=a^{4}$ y $\left(b^{2}\right)^{2}=b^{4}$:

   $a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}\right)$

   El término central es $-a^{2}b^{2}$, el producto $uv$, y no $-2a^{2}b^{2}$, que correspondería al desarrollo de un binomio al cuadrado.

4. 4

   Verifica desarrollando y con números. Al desarrollar se obtiene $a^{6}-a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}+a^{4}b^{2}-a^{2}b^{4}+b^{6}=a^{6}+b^{6}$ ✓: los cuatro términos centrales se cancelan por pares. La identidad se cumple en los $289$ pares de enteros con $-8\le a,b\le8$ ✓. Comprobación puntual con $a=2,b=1$: $64+1=65$ y $(5)(16-4+1)=5\cdot13=65$ ✓.

5. 5

   Observa qué ya no se puede llevar más lejos sobre los enteros. $a^{2}+b^{2}$ es una suma de cuadrados y es irreducible sobre los reales. La cuártica $a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}$ tampoco tiene factores lineales reales: es igual a $\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}-3a^{2}b^{2}$ y, aunque eso sea una diferencia de cuadrados, separarla introduce $\sqrt3$, así que no sería una factorización entera. Por lo tanto, la respuesta de dos factores es completa sobre $\mathbb{Z}$.