Resuelve la inecuación compuesta 1 < x + 4 < 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee qué dice el enunciado. Tres partes significan dos desigualdades a la vez: $x+4$ es mayor que $1$ y menor que $2$. Ambos límites son menores que el $4$ que ya acompaña a $x$, así que el propio $x$ tiene que ser negativo — una predicción útil.

2. 2

   Comprueba que el enunciado sea consistente. El límite inferior $1$ es menor que el superior $2$, así que la ventana buscada no es vacía y existe solución. (Si estuvieran invertidos, como en $2<x+4<1$, la respuesta sería el conjunto vacío.)

3. 3

   Resta 4 en las tres partes. Restar el mismo número en cada parte no cambia ninguno de los dos sentidos — sin inversiones ni análisis por casos:

   $1-4<x+4-4<2-4$

4. 4

   Simplifica.

   $-3<x<-2$

   Ambos límites son negativos, tal como se predijo en el paso 1, y el intervalo tiene amplitud $1$ — la misma que la ventana original, porque trasladar no estira.

5. 5

   Verifica los dos extremos y un punto interior. En $x=-3$: $x+4=1$, que incumple el límite inferior estricto, así que $-3$ queda correctamente excluido. En $x=-2$: $x+4=2$, que incumple el límite superior estricto, así que también se excluye. En $x=-2.5$ (interior): $x+4=1.5$, y $1<1.5<2$ ✓. Al probar $1200$ valores de muestra se confirma que el conjunto solución es exactamente el intervalo abierto $(-3,-2)$ ✓.