Resuelve la inecuación (x³ + 1)(x² − 2) < x(x³ + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Pasa todo a un lado y nunca dividas entre $x^{3}+1$. Dividir entre una expresión de signo desconocido invertiría la desigualdad en silencio sobre parte de la recta. En vez de eso, resta:

   $\left(x^{3}+1\right)\left(x^{2}-2\right)-x\left(x^{3}+1\right)<0$

   y saca como factor el $x^{3}+1$ común:

   $\left(x^{3}+1\right)\left(x^{2}-x-2\right)<0$

2. 2

   Factoriza por completo las dos piezas. Como suma de cubos y como trinomio simple:

   $x^{3}+1=(x+1)\left(x^{2}-x+1\right),\qquad x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$

   así que la desigualdad queda

   $(x+1)^{2}\left(x^{2}-x+1\right)(x-2)<0$

   El factor $(x+1)$ aparece dos veces, y ese es el hecho estructural clave.

3. 3

   Elimina los factores que nunca cambian de signo. $(x+1)^{2}\ge 0$ siempre, con igualdad solo en $x=-1$. Y $x^{2}-x+1$ tiene discriminante $(-1)^{2}-4=-3<0$ con coeficiente principal positivo, así que es estrictamente positivo para todo $x$ real. Ninguno de los dos puede volver negativo el producto.

4. 4

   Redúcelo a una única condición de signo. Dejando aparte los dos factores no negativos, el producto es negativo exactamente cuando $x-2<0$ y ninguno de los factores no negativos se anula:

   $x<2\quad\text{y}\quad x\ne -1$

   En $x=-1$ el producto entero vale $0$, y $0<0$ es falso, así que hay que perforar el $-1$.

5. 5

   Escribe el conjunto solución.

   $(-\infty,-1)\cup(-1,2)$

   También queda excluido $x=2$, ya que la desigualdad es estricta.

6. 6

   Contrasta los intervalos con puntos de prueba. Sea $g(x)$ el lado izquierdo menos el derecho. Entonces $g(-3)=-260<0$ y $g(0)=-2<0$ (los dos dentro del conjunto solución), mientras que $g(-1)=0$ y $g(2)=0$ (excluidos) y $g(3)=112>0$ (fuera). Esto muestra además que la gráfica toca el cero en $x=-1$ sin cruzarlo: la firma de una raíz de multiplicidad par.