Factoriza (1/2)x⁴y² + (1/3)x³y³ + (1/4)x²y⁴ completamente.

Step-by-step solution

1. 1

   Trata las variables y los coeficientes como dos trabajos distintos. Para un m.c.d. se toma la potencia más baja de cada variable que aparece en todos los términos y, por separado, el mayor número que divide a todos los coeficientes. Hacer las dos cosas a la vez es lo que vuelve confusos los coeficientes fraccionarios.

2. 2

   Toma la potencia más baja de cada variable. Los exponentes de $x$ son $4,3,2$, así que el menor es $x^2$; los de $y$ son $2,3,4$, así que el menor es $y^2$. La parte variable del m.c.d. es

   $x^2y^2$

3. 3

   Elige el coeficiente fraccionario con el m.c.m. de los denominadores. Los coeficientes son $\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14$. Como $\operatorname{lcm}(2,3,4)=12$, el factor común útil es $\tfrac{1}{12}$: dividir cada coeficiente entre $\tfrac{1}{12}$ equivale a multiplicar por $12$, y $\tfrac{12}{2}=6$, $\tfrac{12}{3}=4$, $\tfrac{12}{4}=3$ son todos enteros. Ninguna fracción mayor eliminaría los tres denominadores, así que el m.c.d. es

   $\frac{1}{12}x^2y^2$

4. 4

   Divide cada término entre el m.c.d. Dividir entre $\tfrac{1}{12}$ equivale a multiplicar por $12$, y los exponentes de las variables se restan:

   $\frac{\tfrac12 x^4y^2}{\tfrac1{12}x^2y^2}=6x^2,\qquad \frac{\tfrac13 x^3y^3}{\tfrac1{12}x^2y^2}=4xy,\qquad \frac{\tfrac14 x^2y^4}{\tfrac1{12}x^2y^2}=3y^2$

5. 5

   Escribe la forma factorizada y comprueba si el paréntesis factoriza más.

   $\frac{1}{12}x^2y^2\left(6x^2+4xy+3y^2\right)$

   Como cuadrática en $x$, el paréntesis tiene discriminante $(4y)^2-4(6)(3y^2)=16y^2-72y^2=-56y^2<0$ para $y\neq 0$, así que es irreducible sobre los reales y la factorización está completa.

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   Comprueba desarrollando de vuelta. $\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 6x^2=\tfrac12x^4y^2$, $\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 4xy=\tfrac13x^3y^3$, $\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 3y^2=\tfrac14x^2y^4$. Los tres términos originales se reproducen exactamente.