Suma y simplifica: (x + 5)/(2x − 2) + 3x/(x² + x − 2).

Step-by-step solution

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   Factoriza los dos denominadores antes de elegir uno común. Multiplicar un denominador por el otro también funcionaría, pero produce una expresión innecesariamente grande que después hay que reducir. Al factorizar aparece la parte compartida:

   $2x-2=2(x-1),\qquad x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$

2. 2

   Construye el mínimo común denominador. Toma cada factor distinto con su mayor exponente entre los dos denominadores: la constante $2$, el factor $(x-1)$ que ambos comparten y el factor $(x+2)$:

   $\text{mínimo común denominador}=2(x-1)(x+2)$

3. 3

   Reescribe cada fracción sobre ese denominador. A la primera le falta un factor $(x+2)$; a la segunda le falta un $2$:

   $\frac{(x+5)(x+2)}{2(x-1)(x+2)}+\frac{2\cdot 3x}{2(x-1)(x+2)}$

4. 4

   Suma los numeradores y reduce términos.

   $(x+5)(x+2)=x^{2}+7x+10$

   $x^{2}+7x+10+6x=x^{2}+13x+10$

   de modo que la suma es

   $\frac{x^{2}+13x+10}{2(x-1)(x+2)}$

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   Comprueba si el resultado se puede simplificar. Para que hubiera cancelación, $x-1$ o $x+2$ tendría que dividir a $x^2+13x+10$. En $x=1$ el numerador vale $24\neq 0$; en $x=-2$ vale $4-26+10=-12\neq 0$. Ninguno es factor, así que la expresión ya está en su forma más simple.

   $\boxed{\dfrac{x^{2}+13x+10}{2(x-1)(x+2)}}\qquad (x\neq 1,\ x\neq -2)$

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   Verifica con un valor de prueba. En $x=3$: la expresión original da $\tfrac{8}{4}+\tfrac{9}{10}=2+0.9=2.9$, y la respuesta da $\tfrac{9+39+10}{2(2)(5)}=\tfrac{58}{20}=2.9$. Coinciden.