Factorizar (x + 1) a la cuarta más (x − 1) a la cuarta, menos 82.

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrollar ambas cuartas potencias con el binomio de Newton.

   $(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1,\qquad (x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$

2. 2

   Sumarlas y observar cómo desaparecen las potencias impares.

   $(x+1)^4+(x-1)^4=2x^4+12x^2+2$

   No es casualidad: la segunda expresión es la primera con $x$ reemplazada por $-x$, y $f(x)+f(-x)$ siempre conserva únicamente los términos de grado par. Reconocer esto permite saltarse por completo la contabilidad de los términos en $x^3$ y en $x$.

3. 3

   Restar 82 y sacar el factor común 2.

   $2x^4+12x^2+2-82=2x^4+12x^2-80=2\left(x^4+6x^2-40\right)$

4. 4

   Sustituir $y=x^2$ para dejar a la vista una cuadrática ordinaria.

   $y^2+6y-40=(y+10)(y-4)$

   ya que $10\cdot(-4)=-40$ y $10+(-4)=6$.

5. 5

   Deshacer la sustitución y terminar de factorizar sobre los reales.

   $x^4+6x^2-40=(x^2+10)(x^2-4)=(x^2+10)(x-2)(x+2)$

   El factor $x^2+10$ no tiene raíces reales, así que queda intacto; $x^2-4$ es una diferencia de cuadrados y se separa.

6. 6

   Reunir todo y comprobar numéricamente.

   $(x+1)^4+(x-1)^4-82=2(x-2)(x+2)(x^2+10)$

   En $x=1$: la expresión original vale $16+0-82=-66$, y $2(-1)(3)(11)=-66$ ✓. En $x=3$: $256+16-82=190$, y $2(1)(5)(19)=190$ ✓.