Hallar la raíz de la ecuación x² − 15 = (x + 15)².

Step-by-step solution

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   Desarrolla el lado derecho.

   $(x+15)^2 = x^2 + 30x + 225$

   de modo que la ecuación queda $x^2 - 15 = x^2 + 30x + 225$.

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   Cancela los términos cuadráticos. Cada lado lleva exactamente un $x^2$, así que restar $x^2$ lo elimina por completo:

   $-15 = 30x + 225$

   La ecuación es entonces lineal y tiene una sola raíz, a pesar de que los cuadrados de ambos lados sugieran dos.

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   Despeja x.

   $30x = -15 - 225 = -240 \quad\Longrightarrow\quad x = -8$

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   Comprueba sustituyendo. Izquierda: $(-8)^2 - 15 = 64 - 15 = 49$. Derecha: $(-8 + 15)^2 = 7^2 = 49$. Ambas dan $49$.

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   Interprétalo geométricamente. La ecuación pregunta dónde se cortan la parábola $y = x^2$ desplazada $15$ hacia abajo y esa misma parábola desplazada $15$ hacia la izquierda. Dos parábolas congruentes que solo se diferencian por una traslación se cruzan en exactamente un punto —aquí $(-8, 49)$—, y esa es la razón estructural de que solo exista una raíz.