Resolver el sistema: X × 3.80 + Y × 4.20 = 6627.75 y X + Y = 1628.

Step-by-step solution

1. 1

   Calcula el precio medio por unidad. Dividir el importe total entre el número total de unidades da la tarifa mezclada:

   $\bar p=\frac{6627.75}{1628}=4.071099\ldots$

   Queda entre $3.80$ y $4.20$, como tenía que ser: una media fuera de ese intervalo delataría un enunciado incoherente.

2. 2

   Aplica la relación de aligación (la ley de la palanca). Las distancias de la media a los dos precios son inversamente proporcionales a las cantidades:

   $\frac{X}{Y}=\frac{4.20-\bar p}{\bar p-3.80}=\frac{0.128901}{0.271099}$

   Este es el atajo de la media ponderada: el artículo más barato tira de la media hacia abajo en proporción a la cantidad que hay de él.

3. 3

   Conviértelo en una sola ecuación y resuelve de forma exacta. En vez de arrastrar la media redondeada, quita los decimales directamente. Multiplicando la ecuación del importe por $100$ y sustituyendo $X=1628-Y$:

   $380(1628-Y)+420Y=662775\;\Longrightarrow\;618640+40Y=662775$

   $40Y=44135\;\Longrightarrow\;Y=1103.375$

4. 4

   Halla $X$ con el total.

   $X=1628-1103.375=524.625$

   Aquí los dos valores tienen decimales finitos, porque $44135/40$ queda con denominador $8$ tras simplificar.

5. 5

   Comprueba la ecuación del importe y la razón. $3.80(524.625)+4.20(1103.375)=1993.575+4634.175=6627.75\;\checkmark$. La comprobación de la razón: $\tfrac{524.625}{1103.375}=0.4755$, y $\tfrac{0.128901}{0.271099}=0.4755\;\checkmark$, lo que confirma que el razonamiento por aligación coincide con el álgebra.