Halla el valor positivo de x para el cual la razón x : 45 equivale a la razón 20 : x.

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe ambas razones como fracciones. Que las razones sean equivalentes significa que las fracciones son iguales:

   $\frac{x}{45}=\frac{20}{x}.$

2. 2

   Multiplica en cruz. La incógnita aparece en los dos lados, y eso es lo que convierte esto en una ecuación cuadrática en vez de un problema de un solo paso:

   $x\cdot x=45\cdot 20\ \Longrightarrow\ x^{2}=900.$

3. 3

   Saca la raíz cuadrada y elige la raíz positiva.

   $x=\pm 30,$

   y el enunciado pide el valor positivo, así que $x=30$. (El valor $-30$ cumple el álgebra, pero no describe una razón con sentido.)

4. 4

   Reconoce la estructura. $x^{2}=45\times 20$ dice que $x$ es la media geométrica de los dos términos extremos. Siempre que una cantidad aparece como segundo término de una razón y como primer término de otra razón igual, es la media geométrica de las otras dos; vale la pena detectarlo, porque reduce el problema a una multiplicación y una raíz cuadrada.

5. 5

   Comprueba que ambas razones se reducen a lo mismo.

   $30:45=2:3\qquad\text{y}\qquad 20:30=2:3\ \checkmark$

   Coinciden, lo que confirma $x=30$.