Factoriza la expresión 4x² + 4xy + y² − 4x − 2y − 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Detecta el cuadrado perfecto escondido en la parte cuadrática. Los términos de grado 2 son $4x^2 + 4xy + y^2$, que encajan en $a^2 + 2ab + b^2$ con $a = 2x$ y $b = y$:

   $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2$

   Siempre que la parte de mayor grado de una expresión en dos variables sea un cuadrado perfecto, vale la pena revisar si el resto se alinea con el mismo bloque.

2. 2

   Comprueba que la parte lineal es un múltiplo del mismo bloque.

   $-4x - 2y = -2(2x + y)$

   Lo es, así que toda la expresión depende de $x$ y de $y$ únicamente a través de la combinación $2x + y$.

3. 3

   Sustituye por una sola variable. Toma $u = 2x + y$. La expresión se convierte en una cuadrática corriente:

   $u^2 - 2u - 3$

4. 4

   Factoriza la cuadrática. Dos números que multiplican $-3$ y suman $-2$ son $-3$ y $1$:

   $u^2 - 2u - 3 = (u - 3)(u + 1)$

5. 5

   Sustituye de vuelta.

   $(2x + y - 3)(2x + y + 1)$

6. 6

   Verifica desarrollando. $(2x+y-3)(2x+y+1) = (2x+y)^2 + (2x+y) - 3(2x+y) - 3 = (2x+y)^2 - 2(2x+y) - 3$, que es $4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y - 3$. Una comprobación numérica puntual en $(x,y) = (1, 2)$ da $5$ con las dos formas. (No conviene tomar puntos de la recta $2x+y=3$: allí ambas expresiones se anulan y la comprobación no prueba nada.)