Simplifica la fracción de numerador x² − 9 y denominador x + 3.

Step-by-step solution

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   Anota el dominio antes de simplificar. El denominador se anula cuando $x+3=0$, así que la expresión no está definida en $x=-3$. Anotarlo primero importa, porque la simplificación va a ocultarlo.

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   Factoriza el numerador como diferencia de cuadrados. Escribiendo $9=3^2$ y aplicando $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   La forma factorizada es la que revela el factor compartido; ninguna cancelación término a término lo encontraría.

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   Cancela el factor común.

   $\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3$

   Esto es legítimo para todo $x$ en el que la expresión original está definida, es decir, siempre que $x+3\neq 0$.

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   Enuncia la restricción junto con la respuesta.

   $\frac{x^2-9}{x+3}=x-3,\qquad x\neq -3$

   Los dos miembros no son la misma función: el de la izquierda tiene un agujero en $x=-3$, mientras que la recta $x-3$ no lo tiene. Este es el ejemplo estándar de discontinuidad evitable, y $\lim_{x\to-3}\frac{x^2-9}{x+3}=-6$ es el valor que el agujero «quisiera» tomar.

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   Comprueba con un valor. En $x=1$: la expresión original vale $\frac{1-9}{4}=-2$, y $x-3=-2$ ✓. En $x=-3$ la original queda $\frac00$, indefinida, mientras que $x-3$ daría $-6$ — lo que confirma que la restricción no es opcional.