Escribe la función |x| por x como una función a trozos.

Step-by-step solution

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   Parte de la definición de valor absoluto. La notación $\operatorname{Mod}(x)$ que usan algunas calculadoras significa $|x|$, que a su vez se define por casos:

   $|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x<0\end{cases}$

   El punto de corte es $x=0$, el único sitio donde el interior cambia de signo. No existe ninguna fórmula algebraica única sin casos — por eso la respuesta a trozos es la forma correcta.

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   Multiplica cada caso por $x$. En la rama no negativa $|x|=x$, así que el producto es $x\cdot x$; en la rama negativa $|x|=-x$, así que el producto es $-x\cdot x$:

   $|x|\cdot x=\begin{cases}x^{2},&x\ge0\\-x^{2},&x<0\end{cases}$

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   Comprueba la continuidad en el empalme. Por la derecha el valor tiende a $0^{2}=0$; por la izquierda tiende a $-0^{2}=0$. Los dos coinciden con el valor en $x=0$, así que la función es continua: las dos mitades de parábola se encuentran suavemente en el origen.

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   Verifica con valores de muestra. En $x=3$: $|3|\cdot3=9=3^{2}$ ✓. En $x=-3$: $|-3|\cdot(-3)=3\cdot(-3)=-9=-(-3)^{2}$ ✓. La evaluación directa coincidió con la forma a trozos en $41$ puntos racionales exactos ✓. Observa que el resultado no es $x^{2}$ en todas partes: para $x$ negativo es negativo.

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   Identifica el carácter de la función. Al sustituir $x$ por $-x$ se obtiene $|-x|(-x)=-|x|x$, así que la función es impar: simétrica respecto del origen. Además es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$ (a diferencia de $x^{2}$), lo que la hace invertible, con inversa $y\mapsto\operatorname{sign}(y)\sqrt{|y|}$. Se suele escribir de forma compacta como $x|x|$ o $\operatorname{sign}(x)\,x^{2}$.