Resuelve x³ − 14x² + 23 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Fíjate en lo que te dice la ausencia del término en $x$. Escrita por completo, la cúbica es $x^{3}-14x^{2}+0\cdot x+23=0$, así que Vieta da $r_{1}+r_{2}+r_{3}=14,\qquad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}=0,\qquad r_{1}r_{2}r_{3}=-23.$ Que la relación intermedia sea exactamente cero es una restricción fuerte y la mejor comprobación disponible al final.

2. 2

   Descarta las raíces racionales. Una raíz racional de una cúbica mónica con coeficientes enteros debe dividir al término constante $23$, que es primo, así que los únicos candidatos son $\pm1$ y $\pm23$. Probándolos: $f(1)=10$, $f(-1)=8$, $f(23)=4784$ y $f(-23)=-19550$. Ninguno se anula, de modo que la cúbica no se factoriza sobre los racionales y las raíces hay que hallarlas numéricamente.

3. 3

   Encierra las tres raíces. Con $f(x)=x^{3}-14x^{2}+23$: $f(-1.3)=-2.857,\quad f(-1.2)=1.112,\quad f(1.3)=1.537,\quad f(1.4)=-1.696,\quad f(13.8)=-15.088,\quad f(13.9)=3.679.$ Tres cambios de signo, así que las tres raíces son reales y están en $(-1.3,-1.2)$, $(1.3,1.4)$ y $(13.8,13.9)$.

4. 4

   Afina con el método de Newton. Usando $f'(x)=3x^{2}-28x$ e iterando $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ dentro de cada intervalo se obtiene $x_{1}=-1.228935648,\qquad x_{2}=1.348309644,\qquad x_{3}=13.880626004.$

5. 5

   Confirma con las tres relaciones de Vieta. La suma vale $14.000000000$, la suma de los productos por pares vale $-0.000000000$ y el producto vale $-23.000000000$: las tres coinciden con los coeficientes. La suma por pares es la prueba decisiva: valores redondeados como $-1.255$, $1.333$ y $13.922$ pueden parecer plausibles e incluso mantener la suma cerca de $14$, y sin embargo fallan aquí (y de hecho $f(13.922)=7.88$, no $0$).

6. 6

   Escribe la respuesta. $x\approx -1.228936,\qquad x\approx 1.348310,\qquad x\approx 13.880626.$ Dos raíces quedan cerca del origen y una muy lejos, cerca de $14$, que es justo lo que debe producir un $-14x^{2}$ dominante frente a una constante pequeña como $23$.