Resuelve la ecuación cúbica 2x³ + 3x² − 8x + 3 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Enumera las candidatas a raíz racional. Para $a_nx^n + \dots + a_0$ toda raíz racional tiene la forma $\pm\frac{p}{q}$ con $p \mid a_0 = 3$ y $q \mid a_n = 2$. Así que la lista completa de candidatas es

   $\pm 1,\ \pm 3,\ \pm\frac12,\ \pm\frac32$

   Como el coeficiente principal es $2$ y no $1$, hay que probar también las mitades — saltárselas es justo lo que hace que esta cúbica parezca irreducible.

2. 2

   Prueba las candidatas hasta dar con una que funcione. Probando $x = \tfrac12$:

   $2\left(\tfrac18\right) + 3\left(\tfrac14\right) - 8\left(\tfrac12\right) + 3 = \tfrac14 + \tfrac34 - 4 + 3 = 0$

   Así que $x = \tfrac12$ es raíz y, por el teorema del factor, $\left(x - \tfrac12\right)$ — equivalentemente el factor entero $(2x - 1)$ — divide a la cúbica.

3. 3

   Divide entre el factor ya conocido. La división polinómica (o sintética) entre $2x - 1$ da un cociente cuadrático con resto nulo:

   $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = (2x - 1)\left(x^2 + 2x - 3\right)$

   El resto cero es la confirmación de que la división se hizo bien.

4. 4

   Factoriza el cociente cuadrático. Dos números cuyo producto es $-3$ y cuya suma es $+2$ son $+3$ y $-1$:

   $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$

   $\Longrightarrow \quad 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 = (2x - 1)(x + 3)(x - 1)$

5. 5

   Iguala cada factor a cero y comprueba.

   $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \tfrac12, \qquad x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3, \qquad x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

   Sustituyendo de vuelta: $x=-3$ da $-54 + 27 + 24 + 3 = 0$, y $x=1$ da $2 + 3 - 8 + 3 = 0$. La suma de las raíces es $-3 + \tfrac12 + 1 = -\tfrac32 = -\tfrac{a_2}{a_3}$ y su producto es $-\tfrac32 = -\tfrac{a_0}{a_3}$, ambos de acuerdo con las fórmulas de Vieta.