Resuelve x³ − 3x² + 3x − 2 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Busca en los coeficientes el patrón del cubo de un binomio. La identidad

   $(x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1$

   tiene coeficientes $1,-3,3,-1$, idénticos a los de la cúbica dada salvo en el término constante. Esa firma $1,3,3,1$ (el triángulo de Pascal) es la pista.

2. 2

   Reescribe la cúbica con ese patrón. Como la constante es $-2$ en lugar de $-1$,

   $x^{3}-3x^{2}+3x-2=\left(x^{3}-3x^{2}+3x-1\right)-1=(x-1)^{3}-1$

3. 3

   Reduce la ecuación a un cubo puro.

   $(x-1)^{3}-1=0\ \Longrightarrow\ (x-1)^{3}=1$

4. 4

   Toma la raíz cúbica real. A diferencia de la raíz cuadrada, la raíz cúbica real es univaluada: el único número real cuyo cubo vale $1$ es $1$ mismo, así que

   $x-1=1\ \Longrightarrow\ x=2$

5. 5

   Da cuenta de las otras dos raíces. Sobre los números complejos, $(x-1)^{3}=1$ admite también $x-1=\omega$ y $x-1=\omega^{2}$ con $\omega=-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i$, lo que da las raíces no reales $x=\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}{2}i$. Equivalentemente, factorizar como diferencia de cubos da $(x-2)\left(x^{2}-x+1\right)=0$, y $x^{2}-x+1$ tiene discriminante $-3<0$.

6. 6

   Comprueba la raíz real. $2^{3}-3(2)^{2}+3(2)-2=8-12+6-2=0\ \checkmark$