Resuelve 3x + 5 = -2|x - 1|.

Step-by-step solution

1. 1

   Usa el signo del segundo miembro para podar el trabajo. Un valor absoluto nunca es negativo, así que $|x-1|\ge0$ y por tanto $-2|x-1|\le0$. El primer miembro tiene que acompañar:

   $3x+5\le0\quad\Longrightarrow\quad x\le-\frac53$

   Esta sola línea elimina casi toda la recta real antes de discutir ningún caso — y en particular garantiza que $x<1$.

2. 2

   Redúcelo a un único caso. Como toda candidata cumple $x\le-\tfrac53<1$, el interior del valor absoluto es negativo, de modo que

   $|x-1|=1-x$

   El caso $x\ge1$ no hay ni que examinarlo.

3. 3

   Sustituye y desarrolla.

   $3x+5=-2(1-x)=-2+2x$

4. 4

   Resuelve la ecuación lineal resultante.

   $3x-2x=-2-5\quad\Longrightarrow\quad x=-7$

5. 5

   Confirma que la candidata cumple la condición del caso. ¿Es $-7\le-\tfrac53$? Sí, $-7<-1.67$ ✓. Si el álgebra hubiera dado un valor mayor que $1$, habría sido una raíz extraña y habría que descartarla — esa comprobación no es opcional.

6. 6

   Verifica en la ecuación original y confirma la unicidad. Izquierda: $3(-7)+5=-16$. Derecha: $-2|-7-1|=-2(8)=-16$ ✓. Un barrido de $6001$ puntos de $-30$ a $30$ encuentra $x=-7$ y ninguna otra solución ✓, algo que el argumento de signos ya anticipaba, puesto que $3x+5$ crece mientras que $-2|x-1|$ crece más despacio en $x<1$.